Trigonometri

Trigonometri

PENGERTIAN

Pada segitiga siku-siku berlaku dalil phitagoras.
Sin  = a/c
Cos  = b/c
tg  = a/b cosec  = c/a
sec  = c/b
ctg  = b/a
HUBUNGAN-HUBUNGAN
ctg  = 1/tg 
sec  = 1/cos 
cosec  = 1/sin  tg  = sin  / cos 
sin2  + cos2  = 1
tg2  + 1 = sec2
Pengukuran Sudut

Satu radian (ditulis 1 rad) adalah besar sudut dari suatu putaran yang panjang busurnya soma dengan jari-jari, lingkaran.
2p rad = 360°
p rad = 180°
1 rad = 57,29°

KUADRAN



TANDA-TANDA FUNGSI
Kuadran I
0° - 90° II
90° - 180° III
180° - 270° IV
270° - 360°
Sin + + - -
Cos + - - +
Tan + - + -
Sudut Istimewa

SUDUT ISTIMEWA


0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°
sin 0 1/2 ½ 2 ½ 3 1 0 -1 0
cos 1 ½ 3 ½ 2 1/2 0 -1 0 1
tan 0 1/3 3 1 3 ~ 0 ~ 0

Sudut (90 - )

sin (90 - ) = Cos 
Cos (90 - ) = sin 
tan (90 - ) = cot Sudut (90 + )

sin (90 + ) = Cos 
Cos (90 + ) = - sin 
tan (90 + ) = - cot 
Sudut (180 - )

sin (180 - ) = sin 
Cos (180 - ) = - Cos 
tan (180 - ) = - tan  Sudut (180 + )

sin (180+) = -sin
Cos (180 + ) = - Cos 
tan (180 + ) = tan 
Sudut (270 - )

sin (270 - ) = - Cos 
cos (270 - ) = - sin 
tan (270 - ) = ctg  Sudut (270 + )

sin (270 + ) = -cos 
cos (270 + ) = sin a
tan (270 + ) = - cot 
Sudut (360 - )

sin (360 - ) = - sin 
Cos (360 - ) = Cos 
tan (360 - ) = - tan  Sudut (360 + )

sin (360 + ) = sin 
Cos (360 + ) = Cos 
tan (360 + ) = tan 

Sudut Negatif

sin (-) = - sin 
Cos (-) = Cos 
tan (-) = - tan 

Sudut negatif dihitung searah dengan jarum jam.
Tanda pada sudut negatif sesuai dengan tanda pada kuadran ke IV.

Keterangan :
Untuk  sudut lancip
Kuadran Hubungan
I  atau (90 - )
II (180 - ) (90 + )
III (180 + ) (270 - )
IV (360 - ) (270 + )

RINGKASAN

Sudut (180 ± ) ; (360 ± )  FUNGSI TETAP, tanda sesuai dengan kuadran

Sudut (90 ± ) ; (270 ± )  FUNGSI BERUBAH, tanda sesuai dengan kuadran
Dalil-Dalil Dalam Segitiga

DALIL SINUS

a = b = c
sin  sin  sin 

LUAS SEGITIGA

a² = b² + c² - 2 bc cos 
b² = a² + c² - 2 ac cos 
c² = a² + b² - 2 ab cos 

DALIL COSINUS
Luas = ½ ab sin 
= ½ ac 
= ½ bc 

Luas segitiga dengan ketiga sisinya diketahui :

L = s(s-a)(s-b)(s-c))
s = setengah keliling segitiga
= ½ (a+b+c)

LINGKARAN DALAM, LINGKARAN LUAR DAN LINGKARAN SINGGUNG SUATU SEGITIGA
1. Lingkaran Dalam Segitiga

Lingkaran L1 menyinggung sisi-sisi segitiga ABC, titik pusat lingkaran dalam didapat dari perpotongan garis bagi-garis bagi sudut segitiga ABC.

Hubungan :

rd = [(s-a)(s-b)(s-c)]/s
2. Lingkaran Luar Segitiga

Lingkaran L2 melalui titik-titik sudut segitiga ABC, titik pusat lingkaran luar didapat dari perpotongan garis-garis berat segitiga ABC.

Hubungan :
rL = a = b = c
sin  sin  sin 
rL = abc
4 [s(s-a)(s-b)(s-c)]
3. Lingkaran Singgung Segitiga

Lingkaran L3 menyinggung sisi BC, menyinggung garis BP (BP adalah perpanjangan sisi AB) dan menyinggung garis CQ (CQ adalah perpanjangan sisi AC). Titik pusat lingkaran berada diluar segitiga ABC. Titik pusat lingkaran singgung didapat dari perpotongan garis bagi dalam sudut A dan garis bagi luar sudut B dan sudut C. Terdapat tiga lingkaran singgung yaitu: menyinggung sisi AB, menyinggung sisi BC dan menyinggung sisi AC.

Hubungan :
rsa = jari - jari lingkaran singgung sisi BC

= s(s-b)(s-c)
(s-a)
rsb = jari - jari lingkaran singgung sisi AC

= s(s-a)(s-c)
(s-b)
rsc = jari - jari lingkaran singgung sisi AB

= s(s-a)(s-b)
(s-c)
Koordinat Cartesius dan Koordinat Kutub Suatu Titik

Koordinat Cartesius titik P(xp , yp)
Koordinat Kutub titik P (r, )

r = jarak titik O ke P
a = sudut yang dibentuk antara garis hubung OP dengan sumbu x(+)
Terdapat hubungan
Kutub  Cartesius
(r,)  xp = r cos q
yp = r sin  Cartesius  Kutub

(xp,yp)  = xp2 + yp2
tg  = yp/xp   = ?
Rumus-Rumus Trigonometri

PENJUMLAHAN DUA SUDUT ( + )

sin( + ) = sin  cos  + cos  sin 
cos( + ) = cos  cos  - sin  sin 
tg() = tg  + tg 
1 - tg2

SELISIH DUA SUDUT ( - )

sin( - ) = sin  cos  - cos  sin 
cos( - ) = cos  cos  + sin  sin 
tg(-) = tg  - tg 
1 + tg2

SUDUT RANGKAP

sin 2 = 2 sin  cos 
cos 2 = cos2 - sin2 
= 2 cos2 - 1
= 1 - 2 sin2
tg 2 = 2 tg 2
1 - tg2
sin  cos  = ½ sin 2
cos2 = ½(1 + cos 2)
sin2 = ½ (1 - cos 2)

Secara umum :

sin n = 2 sin ½n cos ½n
cos n = cos2 ½n - 1
= 2 cos2 ½n - 1
= 1 - 2 sin2 ½n
tg n = 2 tg ½n
1 - tg2 ½n

JUMLAH SELISIH DUA FUNGSI YANG SENAMA


BENTUK PENJUMLAHAN  PERKALIAN

sin  + sin  = 2 sin  + cos  -
2 2
sin  - sin  = 2 cos  + sin  -
2 2
cos  + cos  = 2 cos  + cos  -
2 2
cos  + cos  = - 2 sin  + sin  -
2 2

BENTUK PERKALIAN  PENJUMLAHAN

2 sin  cos  = sin  +) + sin  -)
2 cos  sin  = sin  +) - sin  -)
2 cos  cos  = cos  +) + cos  -)
- 2 sin  cos  = cos  +) - sin  -)

PENJUMLAHAN FUNGSI YANG BERBEDA

Bentuk a cos x + b sin x

Merubah bentuk a cos x + b sin x ke dalam bentuk K cos (x - )

a cos x + b sin x = K cos (x-)
dengan :
K = a2 + b2 dan tg  = b/a  = ... ?

Kuadran dari a ditentukan oleh kombinasi tanda a dan b sebagai berikut
I II III IV
a + - - +
b + + - -
keterangan :
a = koefisien cos x
b = koefisien sin x

PERSAMAAN
I. sin x = sin   x1 =  + n.360°
x2 = (180° - ) + n.360°



cos x = cos   x = ±  + n.360°


tg x = tg a x = a + n.180° (n = bilangan bulat)

II. a cos x + b sin x = c
a cos x + b sin x = C
K cos (x-) = C
cos (x-) = C/K
syarat persamaan ini dapat diselesaikan
-1  C/K  1 atau K²  C² (bila K dalam bentuk akar)

misalkan C/K = cos 
cos (x - ) = cos 
(x - ) = ±  + n.360°  x = ( ± ) + n.360°

Melukis Grafik

y = a cos x + b sin x

a cos x + b sin x = K cos (x - )

Maksimum = K  bila cos (x - ) = 1
cos (x - ) = cos 0°
  untuk x =  + n.360°

Minimum = -K  bila cos (x - a) = -1
cos (x - a) = cos 180°
  untuk x =  ± 180° + n.360°


NILAI PEMBUAT NOL FUNGSI (TITIK POTONG DENGAN SUMBU-x)

y = 0  bila cos (x-a) = 0
cos (x-a) = cos 90°
  untuk x = a ± 90° + n360°
grafik dibuat berdasarkan data-data diatas