Pertidaksamaan

Pertidaksamaan

Sifat-Sifat

Antara dua bilangan a dan b terdapat hubungan :
a > b ; a = b atau a < b

1. a > b  a - b > 0
a = b  a - b = 0
a < b  a - b < 0

prinsip: nilai bilangan harus jelas positif, nol atau negatif

2. a + b < c  a + b - c < 0

atau

c-a-b>0

3. Ditambah/Dikurangi dengan bilangan yang sama
a < b   a + c < b + c
a - c < b - c
4.
5. Dikali/Dibagi dengan bilangan positif yang sama
a < b    ac < bc
c > 0 a/c < b/c
6.
Tanda tetap

7. Dikali/dibagi dengan bilangan negatif yang sama
a < b    ad > bd TANDA BERUBAH
d < 0 a/d > b/d
8.
9. Pangkat Genap
a > 0 ; b > 0   a² < b² TANDA TETAP
a < b
10.
a < 0 ; b < 0   a² > b² TANDA BERUBAH
a < b
11.
12. Pangkat Ganjil
a < b   a³ < b³  TANDA TETAP
a5 < b5
a7 < b7
13.
14. Kebalikan
a > 0 ; b > 0   1/a > 1/b TANDA BERUBAH
a < b
15.
a < 0 ; b < 0   1/a > 1/b TANDA BERUBAH
a < b
Garis Bilangan
Dipergunakan untuk mengetahui nilai (+/-) suatu fungsi pada interval tertentu.
Batas pada garis bilangan didapat dari harga nol fungsi (angka yang menjadikan fungsi bernilai 0), sehingga fungsi bernilai nol pada batas tersebut, dan bernilai (+/-) pada interval lainnya.
Untuk menentukan nilai (+/-) suatu fungsi dalam suatu interval, langkah pertama adalah mencari nilai nolnya sebagai batas interval pada garis bilangan, kemudian substitusi sembarang bilangan yang mewakili suatu interval.
Untuk memudahkan mengetahui daerah (+/-) biasanya dicek angka 0 atau daerah yang diuji adalah daerah paling kanan (bilangan besar sekali) sehingga tanda (+/-) cukup dengan melihat hasil perkalian/pembagian tanda dari koefisien variabel.
Bila hasil substitusi tersebut bernilai positif maka interval di mana bilangan itu berada adalah juga bernilai positif, bila hasil substitusi tersebut bernilai negatif maka interval di mana bilangan itu berada juga bernilai negatif.
Cara Menentukan Penyelesaian Beberapa Garis Bilangan
Andaikan a < b

Ambil yang paling kanan
Ambil yang paling kiri
Ambil yang berada diantaranya
contoh :
1. UNTUK BATAS TUNGGAL
f(x) = (x - a) (x - b)
f(x) < 0 untuk a < x < b
f(x) > 0 untuk x < a atau x > b
HAL KHUSUS
Bila koefisien x² adalah (+), dan dapat difaktorkan, maka perubahan tanda adalah sebagai berikut:
(+) | (-) | (+)
Bila koefisien x² adalah (-), dan dapat difaktorkan, maka perubahan tanda adalah sebagai berikut :
(-) | (+) | (-)


2. UNTUK BATAS RANGKAP
f(x) = (x - a)² (x - b) f(x) = (x - a) (x - b)²
(-) || - | (+)
a b (-) | - || (+)
a b
f(x) < 0 untuk x < b ; x a
f(x) > 0 untuk x > b f(x) < 0 untuk x < a
f(x) untuk x > a ; x  b
Ket :
bila melewati batas tunggal (rangkap ganjil) maka tanda pada interval berikutnya berubah, bila melewati batas rangkap genap maka tanda pada interval berikutnya tetap.
Jenis-Jenis Pertidaksamaan
A. PERTIDAKSAMAAN LINIER (PANGKAT SATU)
Adalah pertidaksamaan yang salah satu atau kedua ruasnya mengandung bentuk linier dalam x.
Penyelesaian:
Letakkan variabel x di ruas tersendiri terpisah dari konstanta-konstanta.
Contoh :
2x - 3 > 5  2x > 5 + 3
ijgeiirjirijrigir j 2x > 8
gehghhejehh2x > 2
gambar

B. PERTIDAKSAMAAN IRASIONAL (BENTUK AKAR)
Adalah pertidaksamaan yang variabelnya ada di dalam tanda akar.
Penyelesaian:
• Susunlah dahulu bila kedua ruas seimbang.
(Bila ada dua tanda akar letakkan satu di ruas kiri, satu di ruas kanan; bila ada tiga tanda akar letakkan satu di ruas kiri, dua di ruas kanan atau sebaliknya).
• Kuadratkan kedua ruasnya.
(tanda tidak berubah karena yang dikuadratkan adalah bilangan positif).
• Selesaikan pertidaksamaannya ................. (1)
syarat: bilangan di bawah tanda akar harus non negatif (0)...(2)
(pembicaraan adalah mengenai bilangan riil)
• Jawabannya adalah yang memenuhi syarat (1) dan (2) di atas.
Contoh:
1. (x-2) < 2
 kuadratkan
x - 2 < 4
x < 6
 syarat :
x - 2  0
x  2

2  x < 6 2.(-x + 3) - (2x + 1) > 0

seimbangkan

(-x+3) > (2x+1)

 kuadratkan
-x + 3 > 2x + 1
3x < 2
x < 2/3

 syarat :
-x + 3  0  x  3
dan
2x + 1  0 x  -1/2

-1/2  x < 2/3

C. PERTIDAKSAMAAN KUADRAT (PANGKAT DUA)
Yaitu pertidaksamaan dalam x yang bentuk umumnya :
ax² + bx + c > 0 dengan a, b, c konstanta; a  0.
Penyelesaian:
• Jadikan ruas kanan = 0
• Jadikan koefisien x² positif (untuk memudahkan pemfaktoran)
• Uraikan ruas kiri atas faktor-faktor linier.
• Tetapkan nilai-nilai nolnya
• Tetapkan tanda-tanda pada garis bilangan
• Jawaban didapatkan dari hal-hal yang ditanyakan dan terlukiskan pada garis bilangan
(bila ditanyakan > 0, maka yang dimaksud adalah daerah +,
bila ditanyakan < 0, maka yang dimaksud adalah daerah -).
contoh:
x² + x - 2 > 0
(x + 2) (x - 1) > 0

x < -2 atau x > 1

D. PERTIDAKSAMAAN PECAHAN
Yaitu pertidaksamaan dalam x yang penyebutnya mengandung variabel x.
Penyelesaian:
• Pindahkan semua bilangan keruas kiri, jadikan ruas kanan = 0
(ingat! tidak diperkenankan mengali silang, karena tanda pertidaksamaan tidak dapat ditentukan berubah/tidak)
• Samakan penyebutnya sehingga pecahan dapat disederhanakan.
• Selanjutnya, sama seperti penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. Syarat: penyebut pecahan  0
contoh :

-8  x <1
(2x + 7)/(x - 1)  1
(2x + 7)/(x - 1) - 1  0
(2x + 7)/(x - 1) - (x - 1)/(x - 1)  0  (x + 8)/(x - 1)  0
syarat : penyebut (x-1)  0
x  1

E. PERTIDAKSAMAAN DERAJAT TINGGI (Derajat > 3)
Penyelesaian:
• Terlebih dahulu usahakan disederhanakan. Bila ada bentuk kuadrat yang definit (selalu) bernilai positif ( D < 0 ; a > 0) langsung dapat dihilangkan.Tanda pertidaksamaan tetap.
Bila ada bentuk kuadrat yang definit negatif ( D < 0 ; a < 0) dapat dihilangkan asal tanda pertidaksamaannya berubah.
• Selanjutnya sama seperti penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. Dengan catatan, tanda pada garis bilangan akan berubah jika melewati harga nol yang tunggal (rangkap ganjil) dan tanda akan tetap jika melewati harga nol yang rangkap genap.
contoh:
1. (x - 1/2) (x² - 3x - 4) (x² - 6x + 9) < 0
(x -1/2) (x - 4) (x - 1) (x - 3)² < 0



x < 1 atau 1/2 < x < 3 atau 3 < x < 4

2. (3x² + x + 2)/(x² + 4x - 12) > 0
Bentuk (3X² + X + 2) adalah definit (selalu bernilai) positif, karena:
D = (1)² - 4(3)(2) = -23 dan a = 3
D < 0 dan a > 0
Sehingga (3x² + x + 2) dapat dihilangkan, soal menjadi

(+)/(X² + 4X - 12) > 0 ® (+)/(X + 6) (X - 2) > 0

X < -6 atau X > 2
F. PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK
Yaitu pertidaksamaan dimana variabelnya berada di dalam tanda mutlak.

Batasan : |x| = x jika x > 0
0 jika x = 0
-x jika x < 0 keterangan : |x|  0

masalah : menghilangkan tanda mutlak.

Penyelesaian:
Untuk a > 0
xa  -a < x < a x > a  x < -a atau x > a xa  x = a
secara umum:
menghilangkan tanda mutlak adalah dengan mengkuadratkan kedua ruas
atau
|x| < a  x² < a²  x² - a² < 0  (x-a)(x+a) < 0  -a < x < a
|x| > a  x² > a²  x² - a² > 0  (x-a)(x+a) > 0  x<-a atau x>a
keterangan:
|x| < -a TM
|x| > -a x

|a/b| < c |a| < c|b|