Persamaan Kuadrat

Bentuk umum : ax² + bx + c = 0
x variabel; a,b,c konstanta ; a  0
Menyelesaikan persamaan kuadrat berarti mencari harga x yang memenuhi persamaan kudrat (PK) tersebut (disebut akar persamaan kuadrat). Suatu bilangan disebut akar dari suatu persamaan berarti bilangan tersebut memenuhi persamaan.
Andaikan x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka x1 dan x2 dapat ditentukan dengan cara
1. Memfaktorkan

ax² + bx + c = 0  ax² + bx + c = 0  a (x + p/a) (x + p/a) = 0
 x1 = - p/a dan x2 = - q/a

dengan p.q = a.c dan p + q = b
2. Melengkapkan bentuk kuadrat
persamaan kuadrat tersebut dibentuk menjadi
(x + p)² = q²  x + p = ± q
x1 = q - p dan x2 = - q - p
3. Rumus ABC
ax² + bx + c = 0  X1,2 = ( [-b ± (b²-4ac)]/2a

bentuk (b² - 4ac) selanjutnya disebut DISKRIMINAN (D) sehingga
sehingga X1,2 = (-b ± D)/2a
Kemungkinan Jenis Akar Ditinjau Dari Nilai Diskriminan

1. D > 0

x1 = (-b+D)/2a ; x2 = (-b-D)/2a

PK mempunyai dua akar nyata berbeda

2. D = 0

x1 = x2 = -b/2a

PK mempunyai dua akar nyata yang sama

tt
3. D < 0

Tidak ada harga x yang memenuhi, PK tidak mempunyai akar nyata.

syarat akar nyata/ada/riil : D 0
Sifat-Sifat Akar Persamaan Kuadrat

Misalkan persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dengan x1 dan x2 adalah akar-akarnya.
Dengan menggunakan akar-akar persamaan kuadrat dari rumus ABC, yaitu:
X1 = (-b+D)/2a dan X2 = (-b-D)/2a
didapat hubungan
X1 + X2 = -b/a X1.X2 = c/a X1 - X2 = D/a

Perluasan Untuk Akar-Akar Nyata

1. Kedua akar nyata berlawanan

Maksudnya : X1 = -X2

syarat : D > 0
X1 + X2 = 0  b = 0

Ket: X1 + X2 = 0  -b/a = 0  b = 0

2. Kedua akar nyata berkebalikan

Maksudnya : X1 = 1/X2

syarat : D  0
X1 . X2 = 1  a = c

Ket: X1 . X2 = 1  c/a = 1  a = c

3. Kedua akar nyata positif

Maksudnya : X1 > 0 ; X2 > 0

syarat : D  0
X1 + X2 > 0
X1 . X2 > 0

4. Kedua akar nyata negatif

maksudnya : X1 < 0 ; X2 < 0

syarat: D  0
X1 + X2 < 0
X1 . X2 > 0

5. Kedua akar nyata berlainan tanda

Maksudnya : X1 > 0 ; X2 < 0

syarat : D > 0
X1 . X2 < 0

Ket: bentuk X1 + X2 bukan merupakan syarat karena hasil dari X1 + X2 tandanya tidak pasti

6. Kedua akar rasional

Maksudnya : X1 dan X2 bukan berbentuk 

syarat : D = bentuk kuadrat
D = (0,1,4,9,16,25...)

Ket: D= bentuk kuadrat akan menghilangkan tanda  , sehingga X1 dan X2 rasional
Bentuk-Bentuk Simetris Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Suatu bentuk aljabar disebut simetris, seperti x² + y², jika x dan y dipertukarkan tempatnya menjadi y² + x², maka nilainya sama dengan bentuk semula.
Dalam hal ini kita merubah bentuk yang diberikan menjadi bentuk (X1+X2) atau (X1.X2)
1. X1² + X2² = (X1 + X2)² - 2X1.X2
= (-b/a)² + 2(c/a)

2. X1³ + X2³ = (X1+X2)³ - 3X1X2(X1+X2)
= (-b/a)³ - 3(c/a)(-b/a)

3. X14 + X24 = (X1²+X2²)² -(X1²X2²)
= [(X1+X2)² - 2X1X2]² - 2(X1X2)²
= [(-b/a)² - 2(c/a)]² - 2(c/a)²

4. X1²X2 + X1X2² = X1X2(X1+X2)
= c/a (-b/c)

5. 1/X1 + 1/X2 = (X1+X2)/X1+X2
= (-b/a)/(c/a)
= -b/c

6. X1/X2 + X2/X1 = (X1²+X2²)/X1X2
= ((X1+X2)²-2X1X2)/X1X2

7. (X1-X2)² = (X1+X2)² - 4X1X2 atau [D/a]² = D/a²

8. X1² - X1² = (X1+X2)(X1-X2)
= (-b/a)(D/a)

Bedakan Istilah
Jumlah Kuadrat : (X1²+X2²)
dengan
Kuadrat Jumlah (X1+X2)²
Menyusun Persamaan Kuadrat

KEDUA AKARNYA KUADRAT
Andaikan akar-akarnya X1 dan X2

1. Mengisikan akar-akarnya kedalam bentuk (X - X1)(X - X2) = 0
2. Menggunakan sifat akar X² - (X1+X2)X + X1 . X2 = 0

KEDUA AKARNYA MEMPUNYAI HUBUNGAN DENGAN AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT YANG DIKETAHUI
Andaikan X1 dan X2 adalah akar-akar persamaan kuadrat aX²+bX+c=0 yang diketahui
1. Hubungan tidak beraturan [y1 = f(X1,X2) dan y2 = f(X1,X2)]

Andaikan y1 dan y2 adalah akar-akar persamaan kuadrat baru.

Langkah:

Cari terlebih dahulu nilai dari (y1 + y2) dan (y1 . y2) yang masing-masing merupakan fungsi dari (X1 + X2) atau (X1 . X2) dimana nilai dari (X1 + X2) dan (X1 . X2) didapat dari persamaan kuadrat yang diketahui.

Persamaan Kuadrat baru : y² - (y1 + y2)y + (y1 . y2) = 0

2. Hubungan beraturan (hal khusus)
Akar-akar baru Hubungan PK Baru
p lebihnya
(X1+p) dan (X2+p) y = X + p
 X = y-p
a(y-p)² + b(y-p) + c =0

p kurangnya
(X1-p) dan (X2-p) y = X - p
 X = y + p
a(y+p)² + b(y+p) + c = 0

p kali
pX1 dan pX2
y = pX
X = y/p
a(y/p)²+b(y/p)+c=0

kebalikannya
1/X1 dan 1/X2
y=1/X
X= 1/y
a(y/p)² + b(1/y) + c = 0
atau
cy²+by+a = 0

kuadratnya
X1² dan X2²
y = X²
 X = y
a(y)² + b(y) + c = 0
atau
a²y + (2ay-b²)y + c² = 0